Willkommen bei der Arbeitsgruppe Inverse Probleme
Inverse Probleme bestehen in der Regel darin, Ursachen aus beobachteten Wirkungen zu rekonstruieren. Zum Beispiel wird in der Magnetresonanztomographie (MRT) aus einem gemessenen Magnetfeldsignal die Protonendichte im Körper eines Menschen oder Tieres näherungsweise berechnet. In der Bildgebung mit kohärenten Röntgenstrahlen wird der Brechnungsindex einer Probe aus einem gemessenen Beugungsmuster rekonstruiert.
Die wesentliche Schwierigkeit in der numerische Lösung inverser Probleme besteht darin, dass sie in den meisten Fällen schlecht gestellt sind. Das heißt, dass beliebig kleine Messfehler große Fehler in der Rekonstruktion verursachen können. Aus diesem Grunde scheitern native Rekonstruktionsverfahren. Einen Ausweg stellen Regularisierungsverfahren dar. Hier fließen a-priori Informationen über das unbekannte Objekt in den Rekonstruktionsprozess ein. Mathematisch gesprochen wird statt der unstetigen Inversen des Vorwärtsoperators, der die unbekannte Funktion auf die Messdaten abbildet, eine stetige Approximation auf die Daten angewendet. Dabei ist natürlich eine kluge Wahl dieser stetigen Approximation entscheidend, um bestmögliche Rekonstruktionsergebnisse zu erzielen und insbesondere Konvergenz gegen die wahre Lösung, wenn der Datenfehler gegen 0 geht.
Wir beschäftigen uns, u.a. im SFB 1456 Mathematik des Experiments: Die Herausforderung indirekter Daten in den Naturwissenschaften mit inversen Problemen aus Gebieten wie
Weitere Beispiele und Arbeitsgruppen, die sich mit ähnlichen Problemen befassen, finden sich auf den Webseiten der Gesellschaft für Inverse Probleme e.V..
Inverse Probleme bestehen in der Regel darin, Ursachen aus beobachteten Wirkungen zu rekonstruieren. Zum Beispiel wird in der Magnetresonanztomographie (MRT) aus einem gemessenen Magnetfeldsignal die Protonendichte im Körper eines Menschen oder Tieres näherungsweise berechnet. In der Bildgebung mit kohärenten Röntgenstrahlen wird der Brechnungsindex einer Probe aus einem gemessenen Beugungsmuster rekonstruiert.
Die wesentliche Schwierigkeit in der numerische Lösung inverser Probleme besteht darin, dass sie in den meisten Fällen schlecht gestellt sind. Das heißt, dass beliebig kleine Messfehler große Fehler in der Rekonstruktion verursachen können. Aus diesem Grunde scheitern native Rekonstruktionsverfahren. Einen Ausweg stellen Regularisierungsverfahren dar. Hier fließen a-priori Informationen über das unbekannte Objekt in den Rekonstruktionsprozess ein. Mathematisch gesprochen wird statt der unstetigen Inversen des Vorwärtsoperators, der die unbekannte Funktion auf die Messdaten abbildet, eine stetige Approximation auf die Daten angewendet. Dabei ist natürlich eine kluge Wahl dieser stetigen Approximation entscheidend, um bestmögliche Rekonstruktionsergebnisse zu erzielen und insbesondere Konvergenz gegen die wahre Lösung, wenn der Datenfehler gegen 0 geht.
Wir beschäftigen uns, u.a. im SFB 1456 Mathematik des Experiments: Die Herausforderung indirekter Daten in den Naturwissenschaften mit inversen Problemen aus Gebieten wie
Weitere Beispiele und Arbeitsgruppen, die sich mit ähnlichen Problemen befassen, finden sich auf den Webseiten der Gesellschaft für Inverse Probleme e.V..
Mitglieder der Arbeitsgruppe